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检察门户网站建设方案,php制作网站开发,余姚市建设局行政服务中心网站,应用软件开发过程数学基础-线性代数-学习系列 本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 逆矩阵、列空间、秩与零空间 的学习笔记#xff0c;通过线性变换了解 逆矩阵、列空间、秩与零空间的概念。 线性方程组逆矩阵列空间秩零空间 1、线性方程组 1.1 什么是线程方程组 一个线性方程组是由…数学基础-线性代数-学习系列本文是3B1B 《线性代数的本质》系列视频之 逆矩阵、列空间、秩与零空间 的学习笔记通过线性变换了解 逆矩阵、列空间、秩与零空间的概念。线性方程组逆矩阵列空间秩零空间1、线性方程组1.1 什么是线程方程组一个线性方程组是由多个关于变量的一次方程组成的系统如{ 2 x 3 y 7 4 x − y 1 \begin{cases} 2x 3y 7 \\ 4x - y 1 \end{cases}{2x3y74x−y1​这个方程组包含两个方程、两个未知数x , y x, yx,y目标是找到一组值( x , y ) (x, y)(x,y)同时满足所有方程。1.2 将线性方程组写成矩阵形式线性方程组写为 矩阵乘法的形式A x ⃗ b ⃗ A\vec{x} \vec{b}Axb其中A AA是系数矩阵x ⃗ \vec{x}x是未知数向量b ⃗ \vec{b}b是常数项向量即A [ 2 3 4 − 1 ] , x ⃗ [ x y ] , b ⃗ [ 7 1 ] A \begin{bmatrix} 2 3 \\ 4 -1 \end{bmatrix},\quad \vec{x} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\quad \vec{b} \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}A[24​3−1​],x[xy​],b[71​][ 2 3 4 − 1 ] [ x y ] [ 7 1 ] \begin{bmatrix} 2 3 \\ 4 -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \end{bmatrix}[24​3−1​][xy​][71​]考虑{ x 2 y 3 z 6 2 x − z 1 y 4 z 5 \begin{cases} x 2y 3z 6 \\ 2x - z 1 \\ y 4z 5 \end{cases}⎩⎨⎧​x2y3z62x−z1y4z5​再举一个三元方程组的例子提取系数得到矩阵形式[ 1 2 3 2 0 − 1 0 1 4 ] [ x y z ] [ 6 1 5 ] \begin{bmatrix} 1 2 3 \\ 2 0 -1 \\ 0 1 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}​120​201​3−14​​​xyz​​​615​​1.3 矩阵表示的含义一个矩阵代表一种对空间的线性变换。比如A x ⃗ b ⃗ A\vec{x} \vec{b}Axb的意义是 是否存在一个输入向量x ⃗ \vec{x}x使得变换后正好等于b ⃗ \vec{b}b这也是A x ⃗ b ⃗ A\vec{x} \vec{b}Axb的几何意义。2、逆矩阵2.1 什么是逆矩阵给定一个线性变换A AA如果存在另一个变换A − 1 A^{-1}A−1使得A − 1 A I 单位矩阵 A^{-1}A I \quad \text{单位矩阵}A−1AI单位矩阵那么A − 1 A^{-1}A−1就是A AA的逆矩阵。从几何上看这意味着先对空间进行A AA变换再进行A − 1 A^{-1}A−1变换空间会回到原始状态。2.2 逆矩阵存在的条件逆变换存在等价于变换A AA没有压缩空间。只有那些不把空间压缩到更低维度的变换才可能有逆。在二维中若一个 2×2 矩阵压缩成一条直线或一个点信息丢失逆矩阵不存在。因此只有当变换保持空间维度不变时才可能可逆。2.3 不可逆的情况当一个矩阵的行列式为0时表示该变换将空间压缩到了更低的维度。此时矩阵没有逆矩阵。例如A [ 1 2 2 4 ] A \begin{bmatrix} 1 2 \\ 2 4 \end{bmatrix}A[12​24​]两列线性相关变换后所有向量都落在一条直线上 → 行列式为0 → 不可逆。3、列空间矩阵 A 对空间中所有可能的向量进行变换得到的所有输出向量的集合构成了一个非常重要的空间称为 列空间。列空间就是矩阵的列向量所张成的空间列空间是变换后能“到达”的所有点的集合。比如在二维中如果变换把二维空间压缩到一条通过原点的直线上那么这条直线就是列空间。如果变换保持了二维性那么整个平面就是列空间4、秩4.1 秩的理解矩阵的秩是其列空间的维度。秩 0意味着变换将空间压缩到原点秩 1意味着变换将空间压缩到一条直线上秩 2意味着变换保持了一个二维平面4.2 关于满秩对于n × n n\times nn×n方阵若秩为n nn称为满秩满秩 ⇔ 行列式 ≠ 0 ⇔ 矩阵可逆满秩是可逆性的代数判断标准5、零空间矩阵A AA的零空间是所有满足A x ⃗ 0 ⃗ A\vec{x} \vec{0}Ax0的向量x ⃗ \vec{x}x构成的集合。零空间中的向量在经过变换A AA后全部被映射到原点。这些向量是“被压缩掉的信息”。如果零空间中只有零向量说明没有非零向量被压缩 → 变换是“保信息”的 → 可逆。如果零空间包含非零向量说明有多个输入映射到同一个输出 → 不可逆。满秩变换只有零向量自身变换后会落在原点。它的零空间只有一个点零向量非满秩变换例如一个将平面压缩到直线的变换。除了零向量还有一整个方向上的所有向量会被压缩到原点。6、总结概念数学定义几何意义与可逆性的关系逆矩阵A − 1 A I A^{-1}A IA−1AI变换可“撤销”存在 ⇔ 满秩且为方阵列空间Span ( cols of A ) \text{Span}(\text{cols of } A)Span(cols ofA)所有可能的输出A x ⃗ A\vec{x}Ax决定A x ⃗ b ⃗ A\vec{x} \vec{b}Axb是否有解秩dim ⁡ ( Col ( A ) ) \dim(\text{Col}(A))dim(Col(A))输出空间的维度满秩 ⇔ 可逆零空间{ x ⃗ ∣ A x ⃗ 0 } \{ \vec{x} \mid A\vec{x} 0 \}{x∣Ax0}被压缩到原点的输入向量集合零空间 {0} ⇔ 解唯一